2022碩士研究生數學(xué)一考研大綱解析:線(xiàn)性代數考試特點(diǎn)分析

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考研大綱推薦

今天教育部考試中心發(fā)布了2022年考研數學(xué)大綱。今年的考研數學(xué)大綱基本與去年的大綱保持一致。在線(xiàn)性代數科目中,試題難易程度變動(dòng)雖有區別但也趨于穩定。命題的重點(diǎn)仍是基本概念、基本性質(zhì)和基本方法。下面就線(xiàn)性代數的基本考情和特點(diǎn)做一個(gè)分析。
考研線(xiàn)性代數一共包含六章的內容:行列式、矩陣、向量、線(xiàn)性方程組、特征值與特征向量、二次型??荚囶}型分為選擇、填空和解答,基本的工具有行列式、矩陣、秩、特征值與特征向量,可能出選擇填空題的內容主要是行列式的計算、矩陣的秩、相關(guān)無(wú)關(guān)、解的判定、矩陣的特征值特征向量、矩陣的合同與相似、正定二次型的判定。其中2021年考到了行列式、秩、向量組的解、線(xiàn)性表出、正負慣性指數的內容??赡艹鼋獯痤}的內容,往年有(1)向量與方程組結合的題目,比如把判斷相關(guān)無(wú)關(guān)及能否線(xiàn)性表出,轉化為齊次或齊次線(xiàn)性方程組有解無(wú)解的問(wèn)題;(2)向量、特征值與特征向量或二次型的題目,這部分題目往往計算量比較大。其中2021年數學(xué)一大題考到了二次型部分的正交矩陣和正定矩陣的內容。
考研線(xiàn)性代數的特點(diǎn)跟其他科目不同,具體如下:
(1)計算量比較大??佳芯€(xiàn)性代數的大題一般都有兩問(wèn),像矩陣方程的求解、線(xiàn)性方程組解的通解、相似和相似對角化、二次型等,這些計算量都非常大,并且前面錯一點(diǎn)后面就全錯了。有些雖然只是簡(jiǎn)單的運算,但運算次數較多時(shí),就很容易犯錯,這是考試中經(jīng)常失分的一個(gè)重要原因。

(2)公式定理多,概念抽象??佳芯€(xiàn)性代數內容多,概念多,公式定理多,而且內容比較抽象。比如關(guān)于矩陣,就有矩陣相似、矩陣等價(jià)、矩陣合同、正定矩陣、正交矩陣等。再有向量部分,相關(guān)無(wú)關(guān)的性質(zhì)就有7條等。這些瑣碎的知識點(diǎn)無(wú)形中增加了考生的記憶負擔,復習中要多次背誦記憶。再有秩的相關(guān)概念,線(xiàn)性代數中幾乎所有重要的定理都可以通過(guò)秩來(lái)表述,對秩的理解深度決定了整個(gè)線(xiàn)性代數的復習高度,但對于具體的矩陣求秩,可以通過(guò)初等行變換化階梯型,根據階梯型中非零行的個(gè)數來(lái)求;對于抽象型的,可以利用定義來(lái)求,也可以與向量結合,還可以由向量的相關(guān)性及向量組的秩來(lái)判定;還可以借助矩陣(方陣)非零特征值個(gè)數等方法來(lái)判定。所以學(xué)習秩,我們不僅要掌握本身的概念,也要把握好與其他知識點(diǎn)之間的聯(lián)系,就對學(xué)生的能力提出了更高的要求。

(3)靈活度高??佳芯€(xiàn)性代數經(jīng)常稍加改變條件就會(huì )導致整個(gè)解題方法全部發(fā)生變化,所以出題非常靈活多變。比如計算或討論兩個(gè)線(xiàn)性方程組公共解的問(wèn)題,①如果兩個(gè)線(xiàn)性方程組都是已知的,則將這兩個(gè)線(xiàn)性方程組聯(lián)立求解;②如果兩個(gè)線(xiàn)性方程組其中一個(gè)已知,另一個(gè)線(xiàn)性方程組的通解是已知的,則可以將后一個(gè)線(xiàn)性方程組的通解直接代入前一個(gè)線(xiàn)性方程組,求出使得通解滿(mǎn)足另一個(gè)線(xiàn)性方程組的條件;③如果兩個(gè)線(xiàn)性方程組都只知道通解,則可以令兩邊的通解相等,求出使得兩邊通解相等時(shí)的條件。

(4)綜合性強,考研線(xiàn)性代數的知識點(diǎn)之間聯(lián)系是非常緊密的,因此很容易出綜合性大題,經(jīng)常一道題考幾個(gè)章節的內容。比如2021數學(xué)一線(xiàn)性代數的解答題,就綜合了特征值特征向量、正交相似對角化、矩陣乘法運算及正定矩陣的相關(guān)內容;

(5)推理證明

考研線(xiàn)性代數還會(huì )考察學(xué)生的邏輯推理能力,比如證明相關(guān)無(wú)關(guān),但很多考生這方面的能力欠缺,不知道如何處理應用題和證明題,往往失分較多??忌幸庾R得鍛煉自己,總結證明題的出題規律,總結解題思路和解題方法,避免在考試中失分。
針對線(xiàn)性代數的考試特點(diǎn),考生在備考時(shí)要注意一下幾點(diǎn):
(1)抓主線(xiàn)
線(xiàn)性代數內容看似雜亂,但實(shí)際“形散而神不散”。要想學(xué)好線(xiàn)性代數,一定要抓住主線(xiàn)——線(xiàn)性方程組,把各個(gè)章節的內容串起來(lái)。

(2)重基礎
考研線(xiàn)性代數試題對基本概念、基本性質(zhì)和基本方法都有考查。對于基本概念,要區分哪些了解即可,比如矩陣、向量的定義等,哪些會(huì )直接考查,比如基礎解系、相關(guān)無(wú)關(guān)、矩陣相似、合同、二次型等。有些基本知識點(diǎn)是考生容易忽略的,像矩陣相似、矩陣等價(jià)及矩陣合同的判斷,往往會(huì )忽略本身的定義,混淆概念。對于基本性質(zhì),要準確記憶,注意區分行列式的運算性質(zhì)與矩陣運算性質(zhì)的不同,有無(wú)正負號等問(wèn)題。對于基本方法要有整體的認識,比如數值型和抽象型行列式計算方法,齊次非齊次線(xiàn)性方程組的求解等問(wèn)題,要掌握基本求解方法,再加上一定的訓練,就能實(shí)現穩定得分。

(3)勤加練習,重視計算
線(xiàn)性代數選擇填空題一道題5分,分值增加,計算量也會(huì )適當加大,但總體難度不大,主要是把握好解題思路。在解答題中,計算量往往非常繁瑣,一個(gè)是知識點(diǎn)綜合性比較強,一個(gè)是計算步驟多,所以同學(xué)們要認真對待,在做題中訓練自己的靈活解題能力和計算能力。
隨著(zhù)2022年考研數學(xué)大綱的發(fā)布,備考逐漸進(jìn)入沖刺階段。數學(xué)的學(xué)習是沒(méi)有捷徑的,經(jīng)過(guò)暑假充電之后,大部分同學(xué)也能感受到線(xiàn)性代數的獨特之處了。9月份要繼續努力,不能松懈。復習過(guò)的知識點(diǎn)和重要題型,也要適當會(huì )看,溫故而知新,為自己的未來(lái)拼搏一番。
 

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